本福特定律

各种事物可量化属性的值的首位数字，每种数字出现的概率不是相同的，第一位数字服从log分布。如自然物品的长度、面积、商品价格。

这种规律被认为是事物等比变化的体现。

b进制的数值n，首位数字出现的概率$$P= log_b(n+1)-log_b(n)$$

拓扑

介绍几个名词

• 同胚：变化不会破坏原有 的连通性
• 紧致：有限不会变为无穷大
• 拓扑套锁，不会收缩到一个点，则是多联通

庞加莱猜想(已被证明)：二维流形，只有二维球面同时具备紧致性无边界单连通性。

庞加莱猜想(已被证明)：任一单连通紧致无边界的三维流形，同胚于三维球面。

康托尔无穷大集合：

势：是2组集合映射对应关系。相等的势，则集合大小相等。

• 自然数集合，偶数，奇数，可以形成1-1映射同势。- 大小为阿列夫0。
• 实数集合，是更大的势，自然数无法满映射到该集合。大小为阿列夫1。
• 函数集合，更大的势，实数集合无法满映射到该集合。大小为阿列夫2。
• 存在阿列夫n。n无穷大。

博弈论

纳什均衡。其他人不改变策略时，任何一个人改变当前策略对自己没有好处，大家只能维持现状。

• 囚徒困境。因为信息的缺失，为了应对对手的策略，不得已面对理性对方的所有可能场景下，实施下对自己最优的策略，全局而言而未必是最优解。

双方各自有利却对其他人有损的场景下。连续博弈过程的最优解为： 不做第一个背叛的人，根据对方做反映，不要试图击败对手，避免复杂的策略。

哥德尔不完备定理

内容： - 公理和由此推导的定理及结论为真，但并不等价所有的真都可由公理衍生出来。 - 元算数：用数学语言来描述事物 - 算数系统具有协调性，但决不能仅用算数方法论证它。

证明： 对真集合中的任何一个数学语言描述G。用自然数列的数字，替换表达式的每个代号。 这样一串数代表一个陈述为真的描述。（用算数系统描述自身）

然后提出命题：不存在可论证G的证据。

G为假，则G可以被论证。G为真，则不可被论证，跟命题矛盾。

只能接受算数系统可以论证假理论，或有真理无法被证明。

前者失去了推导证明所存在的意义，只能相信后者。

黎曼猜想

$$\zeta (s)=\frac{\Gamma(1-s)}{2\pi i} \int_C \frac {(-z)^s}{e^z-1}\frac{dz}{z}$$ C是围绕着正实轴和原点积分。只有s=1时无意义（亚纯函数） s=-2n （n 为正整数）是黎曼ζ 函数的零点。这些零点分布有序、 性质简单， 被称为黎曼ζ 函数的平凡零点 (trivial zero)。 除了这些平凡零点外，黎曼ζ 函数还有许多其它零点， 它们的性质远比那些平凡零点来得复杂， 被称为非平凡零点 (non-trivial zeros)。 黎曼猜想$$\zeta $$函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上，也即方程$$\zeta (s)=0$$的解的实部都是1/2。

素数定理是素数分布理论的中心定理。黎曼猜想与强条件的素数定理等价。

扩展： $$\zeta(s)$$是下面的实数大于1的解析延拓 $$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^s}$$ (Re(s)>1,n 属于 N+) $$\zeta=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+.. .$$ 当s=1时为调和级数，无穷大。 当s=2时为=pi/6 (欧拉证明)。 左侧乘以 素数^s，与原式相减 得出新的原式。所有该素数倍数的像都消失了。 $$(1-\frac{1}{2^s})\zeta=1+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{5^s}+.. .$$ 无限迭代，欧拉乘积式 $$\prod_p (1-\frac{1}{p^s})\zeta=1$$ 。p是素数 $$\zeta=\pi _p是素数 (1-1/p^s)^(-1)$$